PEMAHAMAN KONSEP

Pemahaman adalah suatu isu yang meluas di luar batasan-batasan pendidikan matematika. Banyak teori-teori umum tentang belajar, termasuk tentang perbedaan skemata awal yang dimiliki pebelajar, berkaitan dengan upaya siswa mencapai pemahaman. Menurut Gardner (Hiebert, J. & Carpenter, T. P.,1992), pemahaman adalah salah satu aspek dalam belajar yang digunakan sebagai dasar mengembangkan model pembelajaran dengan memperhatikan indikator pemahaman.

Hiebert dan Carpenter (1992) menyatakan bahwa salah satu ide yang diterima secara luas dalam pendidikan matematika adalah bahwa siswa harus memahami matematika. Menurut Marpaung (1999), matematika tidak ada artinya kalau hanya dihafalkan. Banyak siswa dapat menyebut definisi jajar genjang, tetapi bila kepada mereka diberikan suatu persegi panjang dan ditanyakan apakah persegi panjang itu jajar genjang, mereka menjawab “tidak”. Kutipan ini menunjukkan kegagalan siswa memahami konsep, sehingga pembelajaran matematika berorientasi pemahaman perlu diperhatikan.
Penggunaan istilah pemahaman (understanding) sangat bervariasi, bergantung kepada konteks institusional. Oleh karena itu, berkaitan dengan objek penelitian pada pembelajaran matematika maka asumsi-asumsi kognitif tentang matematika perlu dijadikan acuan mengkaji pengertian pemahaman dalam belajar matematika.
Dalam bagian ini akan dikemukakan secara ringkas kerangka teori tentang pemahaman matematika yang ditelusuri dalam literatur pendidikan matematika. Beberapa teori pemahaman diangkat dari tulisan Skemp, Hiebert-Carpenter, dan lainnya. Akan terlihat bahwa masing-masing teori dikembangkan dari perspektif berbeda dan menggunakan definisi yang berbeda pula. Akan tetapi, seperti yang akan ditunjukkan pada bagian akhir subbab ini bahwa teori-teori tentang pemahaman matematika memiliki beberapa elemen pandangan yang serupa. Hal ini akan digunakan untuk menginvestigasi dan menguraikan pemahaman matematika mahasiswa dalam penelitian ini.

Kerangka Teori Pemahaman Menurut Skemp
Dalam tahun 1976, Richard Skemp mengkomunikasikan hasil studinya tentang pemahaman dalam pendidikan matematika. Dalam artikelnya yang terkenal, “Relational and Instrumental Understanding” (Skemp, 1976), dijelaskan pengkategorian pemahaman atas dua jenis pemahaman, yaitu pemahaman relasional dan pemahaman instrumental. Pemahaman relasional didefinisikan sebagai “knowing what to do and why ” dan pemahaman instrumental didefinisikan sebagai “rules without reasons.”
Pada tahun 1987, Skemp merevisi pengkategorian dan definisinya tentang pemahaman dengan memasukkan komponen pemahaman formal, di samping pemahaman instrumental dan pemahaman relasional. Skemp mendefinisikan: “Instrumental understanding is the ability to apply an appropriate remembered rule to the solution of a problem without knowing why the rule works. Relational understanding is the ability to deduce specific rules or procedures from more general mathematical relationships. Formal understanding .is the ability to connect mathematical symbolism and notation with relevant mathematical ideas and to combine these ideas into chains of logical reasoning” (Skemp, 1987). Dari definisi ini terlihat bahwa istilah “knowing” dalam definisi sebelumnya, diganti dengan istilah “ability.” Jadi menurut Skemp, pemahaman merupakan kemampuan (ability). Pertanyaan yang muncul adalah bagaimana seseorang memperoleh kemampuan (ability) ini?

Dalam bukunya, The Psychology of Learning Mathematics. Skemp (1987) menulis “To undertand something means to assimilate it into an appropriate schema.” Jadi terlihat adanya perbedaan antara pemahaman dengan memahami sesuatu. Pemahaman dikaitkan dengan “kemampuan (ability),” dan memahami sesuatu dikaitkan dengan “assimilasi” dan “suatu skema yang cocok (an appropriate schema).” Skema diartikan oleh Skemp sebagai grup konsep-konsep yang saling terhubung, masing-masing konsep dibentuk dari abstraksi sifat-sifat yang invarian dari input sensori motor atau dari konsep lainnya. Hubungan antara, konsep-konsep ini dikaitkan oleh suatu relasi atau transformasi. Selanjutnya, dikatakan bahwa skema ini digunakan tidak hanya ketika kita memiliki pengalaman sebelumnya terkait dengan situasi sekarang, tetapi juga digunakan ketika kita memecahkan masalah tanpa memiliki pengalaman tentang situasi sekarang. Sebagai contoh, jika seseorang tidak pernah menyelesaikan persamaan logaritma, tetapi telah menyelesaikan persamaan linier, maka variasi teknik dan informasi tentang penyelesaian persamaan linier mungkin masuk ke dalam pikiran ketika ia mencoba menyelesaikan persamaan logaritma.

Jika ditelaah lebih jauh, definisi “memahami” menurut Skemp, yaitu, To undertand something means to assimilate it into an appropriate schema; pada kalimat yang digarisbawahi tidak menyatakan the appropriate schema. Hal ini menunjukkan bahwa meskipun mahasiswa tidak memahami suatu konsep, mereka bisa berpikir bahwa mereka memahaminya. Sebagai contoh, seorang mahasiswa mungkin berpikir bahwa notasi f(x) berarti f.x. Mahasiswa mungkin percaya bahwa ia memahami notasi tersebut. Hal ini berasimilasi ke dalam skema untuk perkalian dalam pikirannya dan akan merugikan pemahamannya terhadap konsep fungsi. Mahasiswa dapat merekonstruksi kembali skemanya jika ia berhadapan dengan suatu situasi sehingga skema yang ada tidak cukup menerima situasi tersebut. Hal ini tidak mudah dan tidak menyenangkan bagi mahasiswa. Skemp (1987) menyatakan bahwa “if situation are then encountered for which they are not adequate, this stability of schema becomes an obstacle to adaptability.”

Dalam pemahaman instrumental, problem yang biasa dijumpai adalah untuk menggunakan tipe pemahaman tersebut, mahasiswa harus mampu mengidentifikasi tipe masalah dan mengasosiasikannya dengan suatu prosedur penyelesaian. Masalahnya adalah terdapat banyak tipe dari problem matematika tertentu yang dapat digunakan untuk menyelesaikannya, dan untuk mengingat semua itu sangat sulit dan tidak efisien. Meskipun demikian banyak mahasiswa menghafal prosedur dan tipe problem, bahkan mungkin karena dorongan pengajarnya. Kebiasaan menghafal prosedur dan tipe problem matematika dapat menyebabkan mahasiswa sulit menyelesaikan problem matematika dengan menggunakan konsep yang sesuai.

Mahasiswa yang berusaha memahami secara relasional akan mencoba mengaitkan konsep baru dengan konsep-konsep yang dipahami untuk dikaitkan dan kemudian merefleksi keserupaan dan perbedaan antara konsep baru dengan pemahaman sebelumnya.

Kerangka Teori Pemahaman Menurut Hiebert-Carpenter
Salah satu literatur tentang pemahaman adalah tulisan Hiebert-Carpenter (1992), “Learning dan Teaching With Understanding” yang termuat dalam “Handbook of Research on Mathematics Teaching.” Dalam tulisan ini Hiebert-Carpenter mengawali pembahasan mengenai pemahaman matematika dengan asumsi bahwa pengetahuan (matematika) dipresentasikan secara internal, dan representasi internal ini terstruktur.
Untuk mengkomunikasikan dan memikirkan konsep matematika, kita harus merepresentasikannya dalam beberapa cara. Komunikasi memerlukan penyajian eksternal (illustrasi nyata), memilih kata-kata dalam percakapan yang mudah dipahami, memilih simbol-simbol, gambar-gambar, atau objek nyata (Lesh, Post, dan Behr, 1987). Pada sisi lain, untuk memikirkan ide-ide (konsep) matematika, kita perlu menyajikan ide-ide tersebut secara internal, dengan cara memberi kesempatan memikirkan untuk menelaah apa saja yang terkandung dalam ide.

Penggunaan representasi eksternal dalam mengkomunikasikan ide-ide matematika bertujuan untuk mempengaruhi terbentuknya representasi internal yang konsisten dengan konsep di dalam pikiran anak. Seorang guru; ketika mengajarkan konsep balok misalnya, ia dapat menunjuk beberapa benda dalam kelas yang berbentuk balok, atau memperlihatkan foto benda-benda yang berbentuk balok, atau melukiskan gambar benda yang berbentuk balok di papan tulis sebelum meminta anak menjelaskan dengan kata-katanya sendiri, apa yang dimaksud dengan balok. Guru juga dapat, cukup dengan memberikan pengertian tentang konsep tertentu hanya dengan menggunakan definisi konsep, kemudian meminta anak menginterpretasikannya melalui representasi eksternal. Pemilihan jenis representasi eksternal dalam pembelajaran konsep kepada anak bergantung kepada tingkatan kelas atau perkembangan kognitif anak. Pada tingkat pendidikan sekolah, konsep-konsep matematika umumnya mudah direpresentasikan secara visual atau melalui formula tertentu. Sebagai contoh, konsep balok dapat direpresentasikan melalui benda, foto, atau gambar benda berbentuk balok, konsep parabola dapat direpresentasikan melalui diagram atau dengan rumus tertentu, konsep fungsi dapat direpresentasikan melalui grafik, tabel, atau rumus tertentu, konsep persamaan linear dapat direpresentasikan melalui rumus tertentu. Yang jelas, dalam hal ini guru berupaya agar representasi eksternal suatu konsep mempengaruhi terbentuknya representasi internal anak yang konsisten dengan pengertian tentang konsep yang sebenarnya.

Teori pemahaman yang diajukan oleh Hiebert dan Carpenter didasari atas tiga asumsi, yaitu Pertama, pengetahuan direpresentasikan secara internal dan representasi internal ini terstruktur. Kedua, terdapat relasi antara representasi internal dan representasi eksternal, dan Ketiga, representasi internal saling terkait (Hiebert dan Carpenter, 1992). Ketika relasi representasi internal dari gagasan/ide/konsep dikonstruk, relasi itu akan menghasilkan kerangka pengetahuan. Kerangka pengetahuan tersebut tidak serta merta terbentuk, tetapi terbentuk secara alami. Menurut Kosslyn dan Hatfield (Hiebert dan Carpenter, 1992), sifat alami representasi internal dipengaruhi dan dibatasi oleh sifat alami representasi eksternal.

Apakah yang dimaksud memahami matematika? Hiebert dan Carpenter (1992) menyatakan bahwa “A mathematical idea or prosedure or fact is undertood if it is part of an internal network. More specially, the mathematic is understood if its mental representation is part of a network of representations.” Selanjutnya dikatakan bahwa “The degree of understanding is determined by the number and the strength of the connections.“ Ini berarti bahwa ide (konsep), prosedur dan fakta matematika dipahami jika ia terkait dalam jaringan kerangka yang telah ada dengan lebih kuat atau lebih banyak keterkaitannya.

Ide bahwa pemahaman dalam matematika adalah membangun koneksi antara gagasan/ide, fakta, atau prosedur bukanlah hal yang baru. Gagasan ini merupakan suatu tema yang selalu menarik dan eksis dari tokoh-tokoh klasik di dalam literatur pendidikan matematika seperti Brownell, Fehr, Mclellan dan Dewey, Polya, Van Engen, Wertheimer dan sering muncul di dalam diskusi tentang pemahaman dan penyajian matematika (Hiebert dan Carpenter, 1992). Banyak dari mereka sepakat bahwa pemahaman dalam belajar matematika melibatkan pengenalan hubungan antara potongan-potongan informasi.
Teori tentang pemahaman yang diajukan oleh Hiebert dan Carpenter di atas berangkat dari dugaan adanya kerangka (networks) dari representasi internal. Banyak dan kuatnya koneksi antara representasi digunakan untuk mengukur derajat pemahaman. Karena itu mahasiswa yang memiliki representasi internal suatu fungsi yang terkait dengan definisi fungsi dan grafik fungsi akan memiliki pemahaman yang lebih kuat dibanding dari mahasiswa yang hanya memiliki representasi yang terkait dengan definisi fungsi saja.

Contoh koneksi antara representasi internal dan representasi eksternal dijelaskan sebagai berikut: Misalkan pengajar meminta mahasiswa menjelaskan suatu topik dengan beberapa pendekatan melalui konteks yang berbeda maka mahasiswa menggunakan metode yang berbeda dalam menjelaskannya. Konteks (representasi eksternal) membuat perbedaan dalam pikiran mahasiswa. Menurut definisi pemahaman oleh Hiebert dan Carpenter, representasi eksternal terkait dengan representasi mental (internal) mahasiswa.

Bagaimana representasi mental (internal) saling terkait? Meskipun pendidik matematika tidak mengetahui bagaimana pebelajar merepresentasikan konsep matematika secara internal atau bagaimana sifat representasi ini, menurut Hiebert dan Carpenter, penyelesaian mahasiswa terhadap suatu masalah atau soal matematika dipengaruhi oleh representasi eksternal (gambar, simbol, dan sebagainya) dari masalah atau soal tersebut. Penyelesaian masalah yang dikerjakan di dalam atau di luar sekolah mempengaruhi representasi internal dan menolong terbentuknya kerangka bagi representasi internal. Hiebert dan Carpenter berpendapat bahwa representasi internal diperlukan dalam berpikir tentang ide-ide matematika.

Ketika relasi antara representasi internal dikonstruk, mereka membangun suatu kerangka pengetahuan. Adalah tidak mungkin menjelaskan secara tepat bagaimana kerangka representasi internal tersebut. Hiebert dan Carpenter mengajukan suatu metaphora bagi kerangka representasi internal tersebut, yaitu kemungkinan kerangka tersebut terstruktur secara vertikal-hirarkis atau mungkin terstruktur seperti web. Jika kerangka tersebut terstruktur secara vertikal-hirarkis maka suatu representasi menjadi bagian dari representasi lainnya. Sebagai contoh, jika seorang mahasiswa memiliki representasi tentang fungsi maka representasi fungsi linear berasosiasi dengan representasi fungsi tersebut. Susunan representasi ini akan membangun representasi yang lebih umum. Jika kerangka representasi terstruktur seperti web, maka representasi-representasi dari informasi yang masuk ke dalam pikiran membentuk seperti titik-titik yang terkait satu sama lain. Titik-titik ini dapat dipandang sebagai potongan informasi.

Hiebert dan Carpenter (1992) menjelaskan pertumbuhan pemahaman menggunakan istilah adjoining dan reorganizing pada kerangka yang sudah ada. Adjoining dapat terjadi ketika mahasiswa memiliki kesadaran akan ide matematika pada pertama kali. Untuk berusaha memahami ide matematika tersebut, mahasiswa menelusuri/mencari koneksi ke dalam representasi mental yang ada. Salah satu hasil yang mungkin terjadi dari proses ini adalah koneksi dari ide baru ke representasi mental yang tidak berkaitan/berelasi (unrelated mental representation). Sebagai contoh, ketika seorang mahasiswa dihadapkan dengan penjumlahan logaritma , ia mungkin mengaitkan representasi ini dengan pengetahuannya tentang sifat distributif. Koneksi ini menghasilkan perhitungan berikut: . Koneksi ini dapat dimodifikasi melalui proses, oleh Hiebert dan Carpenter disebut reorganization. Reorganization dapat terjadi ketika mahasiswa merefleksi pemikirannya dan sadar akan adanya ketakkonsistenan. Misalnya, mahasiswa akhirnya melihat bahwa , ini mungkin memiliki penyebab untuk mengorganisasikan kembali informasi baru yang sebelumnya tidak konsisten dengan representasi mental yang ada untuk penjumlahan logaritma.

Refleksi atas Teori Pemahaman Skemp dan Hiebert-Carpenter
Dari kedua kerangka teori pemahaman yang dirujuk dari Skemp dan Hiebert-Carpenter, dapat dikatakan bahwa, pertama, adanya skema dalam teori Skemp dan adanya kerangka (network) dari representasi mental dan koneksi dalam teori Hiebert-Carpenter merupakan dasar untuk menjelaskan bagaimana suatu konsep dipahami berdasarkan konsep lainnya, artinya konsep lain dapat dijelaskan dengan menggunakan konsep-konsep lainnya. Mengacu kepada teori pemahaman dari Skemp, sebagai contoh, jika mahasiswa memahami fungsi eksponen dan fungsi invers, maka kedua konsep ini dapat menjadi basis untuk pemahaman fungsi logaritma. Fungsi logaritma dapat dilihat sebagai kasus khusus fungsi invers dan diasimilasi ke dalam skema fungsi invers sehingga terkait dengan skema fungsi eksponensial. Basis pemahaman dalam teori Hiebert_Carpenter yaitu, adanya kerangka (network) dari representasi mental dan koneksi, dapat dicontohkan sebagai berikut. jika representasi eksternal fungsi logaritma dalam bentuk grafik dibandingkan dengan grafik fungsi eksponen , maka kedua fungsi dapat diidentifikasi sebagai fungsi invers salah satu terhadap lainnya atas dasar kesimetrian grafik terhadap garis y = x. Karena itu basis pemahaman grafik fungsi logaritma adalah grafik fungsi eksponen.

Kedua, representasi mental dan koneksi dalam teori Hiebert-Carpenter, dalam pandangan teori Skemp dapat dijelaskan sebagai berikut. Representasi mental dari sifat-sifat umum, diabstraksi melalui pengalaman (mental atau fisik) dipandang sebagai konsep. Karena itu dalam skema, konsep merupakan representasi mental. Konsep harus dikaitkan agar membentuk skema-skema. Pengaitan menurut Skemp berbentuk relasi dan transformasi. Sebagai contoh, jika kita memandang pasangan-pasangan fungsi yang dinotasikan berikut: , maka relasi antara fungsi dalam setiap pasangan adalah “invers fungsi dari.“ Selanjutnya, transformasi dapat dicontohkan sebagai berikut. dapat ditransformasikan menjadi ; keduanya; relasi dan transformasi dapat menolong mahasiswa membentuk kaitan antara konsep yang telah dimiliki dengan konsep baru.

Ketiga, proses mengkonstruk pengetahuan dalam pandangan Skemp yang bertumpu kepada proses akomodasi dan asimilasi menunjukkan bahwa proses memahami merupakan bagian dari proses mengkonstruk pengetahuan. Skemp menyatakan bahwa memahami sesuatu berarti mengasimilasi sesuatu ke dalam suatu skema yang cocok, sedangkan Hiebert-Carpenter menyatakan bahwa memahami sesuatu berarti sesuatu tersebut merupakan bagian dari kerangka internal.
Keempat, struktur skema dan kerangka representasi internal dan koneksinya secara persis tidak dapat diobservasi, namun demikian terdapat relasi antara representasi eksternal dan representasi internal sehingga observasi terhadap proses memahami dapat dipelajari dari representasi eksternal.
Berdasarkan uraian di atas, meskipun pembentukan skema dan representasi mental, proses akomodasi-asimilasi merupakan proses yang terjadi secara internal, kita dapat melakukan observasi untuk mengungkapnya dengan anggapan bahwa terdapat relasi antara kegiatan mental dengan representasi eksternal yang ditampilkan melalui perilaku orang. Khususnya, apa yang sedang dipikirkan orang tentang suatu konsep, bagaimana orang memahami suatu konsep, kita dapat mengobservasinya dengan meminta orang tersebut mengkomunikasikannya. Dalam memahami konsep limit misalnya, kita mengharapkan bahwa konsep-konsep lainnya seperti konsep fungsi, logika matematika, dan konsep-konsep lainnya dapat menjadi batu-batu pembangun konsep limit. Terkaitnya notasi limit dalam kerangka internal atau skema pengetahuan matematika yang sudah ada/terbentuk, merupakan proses asimilasi-akomodasi, dan pengaitan antar konsep atau antar sub-sub konsep tersebut, menurut Skemp, berbentuk relasi dan transformasi.

Penelitian ini tidak akan mempelajari bagaimana skemata atau representasi internal sebenarnya yang dimiliki mahasiswa ketika memahami suatu ide matematika, karena hal tersebut tidak dapat diobservasi (Hiebert-Carpenter, 1992). Namun demikian telah dinyatakan sebelumnya bahwa terdapat relasi antara representasi internal dan representasi eksternal sehingga observasi terhadap pemahaman dapat dipelajari dari representasi eksternal. Karena itu kemampuan mengaitkan notasi dan simbol matematika yang relevan dengan ide-ide matematika (Skemp) atau representasi mental dan koneksi dapat diobservasi melalui representasi eksternal yang dikomunikasikan individu.

Definisi pemahaman matematika. Dalam penelitian ini, pemahaman matematika didefinisikan sebagai kemampuan mengaitkan notasi dan simbol matematika yang relevan dengan ide-ide matematika dan mengkombinasikannya ke dalam rangkaian penalaran logis (The ability to connect mathematical symbolism and notation with relevant mathematical ideas and to combine these ideas into chains of logical reasoning” (Skemp, 1987).